Visualizando soluciones de EDP y Transformadas de Fourier mediante Ondas de Flexión

Resumen:

Los conceptos de Ecuaciones Diferenciales Parciales y Transformadas de Fourier se imparten en los cursos de Matemáticas de los primeros años universitarios tanto de ciencias básicas como de ingeniería. Ambos conceptos son de capital importancia para la formación de futuros investigadores, académicos e ingenieros ya que un gran número de fenómenos físicos presentan su modelización teórica mediante estas dos relevantes ramas de las Matemáticas. En este trabajo utilizamos las ondas de flexión unidimensionales en una viga elástica maciza para contextualizar un sistema físico sencillo que nos ayude a comprender, así como a profundizar y visualizar de forma sencilla los entresijos de estas dos partes del currículo de Matemáticas de los primeros cursos universitarios. En particular, las ondas de flexión se rigen por una ecuación de onda que, a diferencia de las ondas electromagnéticas (vectoriales) o acústicas (escalares), es de cuarto orden. Esto tiene profundas implicaciones en la propagación de estas ondas, como la dispersión. Normalmente, en los primeros cursos universitarios se resuelven las ecuaciones del oscilador armónico, es decir, de segundo orden. Mediante tres tutoriales de aprendizaje basado en proyectos, aquí los alumnos se enfrentan a la solución de diversos problemas de contorno, utilizando el método de separación de variables con ecuaciones trascendentales que no son en general analíticas. Los alumnos deben obtener las relaciones utilizando métodos numéricos de tipo Newton o secante. Además, se utilizará una transformada espacial de Fourier para obtener la relación de dispersión de las ondas de flexión. Un sistema experimental consistente en una viga de aluminio excitada por un vibrador será escaneado por un vibrómetro láser para obtener los desplazamientos modales. Los resultados serán comparados con los obtenidos teóricamente para visualizar las soluciones matemáticas.

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